ALGEBRA BOOLEANA

Cuando se trabaja con circuitos digitales es muy común que al final de un diseño se tenga un  circuito con un número de partes (circuitos integrados y otros) mayor al necesario.
Para lograr que el circuito tenga la cantidad de partes correcta (la menor posible) hay que optimizarlo (reducirlo).
Un diseño óptimo causará que:
- El circuito electrónico sea más simple
- El número de componentes sea el menor
- El precio de proyecto sea el más bajo
- La demanda de potencia del circuito sea menor
- El mantenimiento del circuito sea más fácil.
- Es espacio necesario (en el circuito impreso) para la implementación del circuito será menor.
En consecuencia que el diseño sea el más económico posible.
Una herramienta para reducir las expresiones lógicas de circuitos digitales es la matemáticas de expresiones lógicas, que fue presentada por George Boole en 1854, herramienta que desde entonces se conoce como álgebra de Boole.

Las reglas del álgebra Booleana son:

Notas: (punto): significa producto lógico. + (signo de suma): significa suma lógica

Operaciones básicas en el algebra booleana

Ley Distributiva, ley Asociativa, ley Conmutativa

Precedencia y Teorema de Morgan

CIRCUITO NAND EQUIVALENTE

El circuito NAND equivalente es una forma alternativa de lograr el mismo resultado de una compuerta NAND como la que ya se conoce.

Comparando las tablas de verdad que se presentan a continuación, se puede ver que el valor de la salidas (F) es igual.

La primera tabla es la tabla de verdad de un circuito NAND equivalente y la segunda es la tabla de verdad de la compuerta NAND

Se puede ver también que la fórmula booleana utilizada para el circuito equivalente da un resultado (F) igual al resultado de la fórmula booleana de la compuerta NAND (F).

F = A + B

F = A . B

Teorema deMorgan

Entonces (observando las 2 tablas anteriores): A . B = A + B

Esta última igualdad es llamada "El teorema deMorgan". Este teorema es muy útil para simplificar circuitos combinacionales booleanos.

Es especialmente útil cuando hay que simplificar expresiones booleanas grandes y complejas que están negadas (que tienen una línea horizontal en la parte superior) una o mas veces.

El circuito NAND equivalente se representa también comop se muestra en el gráfico siguiente:

Los pequeños círculos que están a la entrada de la compuerta OR reemplazan a las compuertas inversoras que se muestran en el primer gráfivo de este artículo. (el circulo pequeño es un inversor)

COMPUERTA NOR EQUIVALENTE. TEOREMA DE DeMorgan

Circuito NOR equivalente

La compuerta NOR equivalente es una forma alternativa de lograr el mismo resultado de una compuerta NOR (No "O") como la que ya se conoce.

Ver en la siguiente gráfico una compuerta NOR y su circuito equivalente implementado con una compuerta AND y dos compuertas NOT

Comparando las tablas de verdad que se presentan a continuación, se puede ver que el valor de la salidas (F) es igual.

Se puede ver también que la fórmula booleana utilizada para el circuito equivalente da un resultado (F) igual al resultado de la fórmula booleana de la compuerta NOR (F).

F = A + B

Teorema deMorgan

Comparando los diagramas superiores (la compuerta NOR y su circuito equivalente) se obtiene la siguiente igualdad:

A + B=AB

Esta última igualdad es llamada "El teorema deMorgan".

Este teorema es muy útil para simplificar circuitos combinacionales booleanos, especialmente cuando existen expresiones grandes y complejas que están negadas (que tienen una línea horizontal en la parte superior) una o más veces.

El circuito NOR equivalente se representa también de la siguiente manera:

Los pequeños círculos que están a la entrada de la compuerta NAND reemplazan a las compuertas NOT o compuertas inversoras (el circulo pequeño es un inversor)

COMPUERTA OR EXCLUSIVA

En la electrónica digital hay unas compuertas que no son comunes. Una de ellas es la compuerta XOR ó compuerta O exclusiva ó compuerta O excluyente.

El siguiente diagrama muestra eñ símbolo de una compuerta XOR (O exclusiva) de 2 entradas:

Comprender el funcionamiento de esta compuerta digital es muy importante para después poder implementar lo que se llama un comparador digital.

La figura de la derecha muestra la tabla de verdad de una compuerta XOR de 2 entradas.

Y se representa con la siguiente función booleana

X = A.B + A.B

A diferencia de la compuerta OR, la compuerta XOR tiene una salida igual a "0" cuando sus entradas son iguales a 1.

Si se comparan las tablas de verdad de la compuerta OR y la compuerta XOR se observa que la compuerta XOR tendrá un uno ("1") en su salida cuando la suma de los unos "1" en las entradas sea igual a un número impar.

La ecuación se puede escribir de dos maneras:

X = A.B + A.B ó

La siguiente figura muestra la tabla de verdad de una compuerta XOR de 3 entradas

De la misma manera que el caso anterior se puede ver que se cumple que X = 1 sólo cuando la suma de las entradas en "1" sea impar

Circuito XOR equivalente

También se puede implementar la compuerta XOR con una combinación de otras compuertas más comunes.

En el siguiente diagrama se muestra una compuerta XOR de dos entradas implementada con compuertas básicas: la compuerta AND, la compuerta OR y la compuerta NOT

COMPUERTA NOT

Dentro de la electrónica digital, no se podrían lograr muchas cosas si no existiera la compuerta NOT o compuerta No, también llamada compuerta inversora.

La compuerta NOT como la compuerta AND y la compuerta OR es muy importante. La compuerta NOT entrega en su salida el inverso (opuesto) de la entrada.
El símbolo y la tabla de verdad son los siguientes:

La salida de una compuerta NOT tiene el valor inverso al de su entrada. En el caso del gráfico anterior la salida X = A
Esto significa que:
- Si a la entrada tenemos un "1" lógico, a la salida hará un "0" lógico y ...
- Si a la entrada tenemos un "0" lógico a la salida habrá un "1" lógico.
Nota: El apóstrofe en la siguiente expresión significa "negado". Entonces: X = A’ es lo mismo que X = A
Las compuertas NOT se pueden conectar en cascada, logrando después de dos compuertas, la entrada original. Ver el siguiente gráfico y la tabla de verdad

Un motivo para implementar un circuito que tenga en su salida, lo mismo que tiene en su entrada, es conseguir un retraso de la señal original con un propósito especial.

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